Soma de vetores por decomposição vetorial
Podemos somar quantos vetores quisermos usando as suas projeções sobre os eixos de um plano cartesiano.
Para somar vetores por decomposição vetorial devemos primeiro obter as projeções dos vetores sobre os eixos de um plano cartesiano, e então somar vetorialmente as projeções em cada eixo separadamente. Com isso vamos obter dois vetores perpendiculares, um sobre o eixo X e outro sobre o eixo Y, que somamos por fim usando o Teorema de Pitágoras.
Esse método além de útil para somar mais do que dois vetores ainda permite demonstrar a fórmula da soma de dois vetores já citada em um post anterior a este: R² = A² + B² + 2.A.B.cos(x)
Para essa demonstração vamos utilizar outro simulador, também produzido com o software Geonext.
Preste bastante atenção quanto aos ângulos:
- alfa é o ângulo de inclinação do vetor A
- beta é o ângulo de inclinação do vetor B
- gama é o ângulo entre os vetores A e B, assim gama = beta - alfa
Somando os vetores no eixo y: Ry = Ay + ByO vetor soma ou resultante é dado por R² = Rx² + Ry²
Como:
Ax = A.cos(alfa), Ay = A.sen(alfa),
Bx = B.cos(beta), By = B.sen(beta)
Vem que:
Rx = A.cos(alfa) + B.cos(beta)
Ry = A.sen(alfa) + B.sen(beta)
R² = (A.cos(alfa) + B.cos(beta) )² + (A.sen(alfa) + B.sen(beta) )²
R² = A².cos²(alfa) + B².cos²(beta) + 2.A.B.cos(alfa).cos(beta) +
A².sen²(alfa) + B².sen²(beta) + 2.A.B.sen(alfa).sen(beta)
(lembrando que sen²(x) + cos²(x) = 1)
R² = A² + B² + 2.A.B.(cos(alfa).cos(beta) + sen(alfa).sen(beta))
R² = A² + B² + 2.A.B.(cos(beta - alfa))
R² = A² + B² + 2.A.B. cos(gama)
Note que cos(beta - alfa) = cos(alfa - beta) logo posso trocar por gama sem problemas.
Pode testar o simulador para quais ângulos quiser, basta arrastar os vetores A e B pelas suas extremidades. O simulador informa os valores dos módulos dos vetores, inclusive da resultante e também os ângulos.
